Амебы дискриминантных множеств для полиномиальных преобразований пространства ℂN

Рассмотрим полиномиальное отображение

где Tⁿ = ⁿ — комплексный алгебраический тор, а P_i — полиномы Лорана, т.е. полиномы от переменных y₁, y₁^-1,…, y_n, y_n^-1. Будем считать, что множества A⁽ⁱ⁾ показателей мономов в P_i фиксированы, а все коэффициенты переменные. В таком случае будем говорить, чтоP – общее полиномиальное отображение из Tⁿ в ℂⁿ.

Для таких отображений обозначим через ∇⁰ множество всех коэффициентов, при которых P имеет в Tⁿ кратные нули, т.е. нули, в которых якобиан P равен нулю.

Определение. Дискриминантным множеством ∇ отображения P назовем замыкание множества ∇⁰ в пространстве коэффициентов.

Таким образом, для нас представляет интерес система полиномиальных уравнений вида

(3. 9)

с неизвестными y = (y₁,…,y_n) ∈ Tⁿ и переменными коэффициентами a_λ⁽ⁱ⁾, где A⁽ⁱ⁾ ⊂ ℤⁿ – фиксированные конечные подмножества, λ = (λ₁,…,λ_n), y^λ = y₁^λ₁…y_n^λ_n.

Как и в случае n = 1 общую систему алгебраических уравнений можно свести к приведенному виду, где в каждом уравнении фиксированы по два коэффициента (см. [2]).

Здесь мы проиллюстрируем некоторые преимущества параметрического задания дискриминантных множеств перед заданием в вида уравнения. Речь идет о расположении дискриминантного множества, которое мы рассматриваем в логарифмической шкале, т.е. в виде амёбы этого множества.

Рассмотрим примеры приведенных систем.

Пример.

Рассмотрим систему уравнений вида

Для нее параметризация дискриминантного множества имеет вид:

(3. 10)

Исключив параметр s из параметризации (3.10), получим приводимый полином двух переменных a, b:

где D(a,b) – это полином

a ε₁ = e, ε₂ = e. Этот полином D(a,b) и есть дискриминант.

На рисунке 3.9 изображена амеба дискриминантного множества ∇, где выделенные линии составляют контур амебы. Из рисунка видно, что нормаль к контуру амебы при полном его обходе делает один оборот (т.е. пробегает ℝℙ¹), и это подчеркивает, что параметризация Δ является обратным отображением к логарифмическому отображению Гаусса для ∇.