Тропические полиномы и их графики

Пусть x1,x2,,xn — переменные, принимающие значения в тропическом полукольце.

Тропический моном определяется как тропическое произведение коэффициента и тропических степеней переменных xi:

2015-02-04amoeba101x

где ai1in ; ik ,k = 1,,n. Он представляет собой функцию из n :

2015-02-04amoeba102x

Например:

2015-02-04amoeba103x

2015-02-04amoeba104x

Таким образом, с точки зрения классической математики тропические мономы — это в точности линейные функции с целыми коэффициентами при xi.

Определение. Тропический полином — это конечная линейная тропическая комбинация тропических мономов

2015-02-04amoeba105x

(4. 1)

где aik = ai1kink ; xik = x 1i1kx nink.

Тропический полином — это функция n , которая с точки зрения классической арифметики есть максимум конечного числа линейных функций:

2015-02-04amoeba106x

где x = (x1,,x2) n; ik = (i 1k,,i nk) n.

Для двух переменных:

2015-02-04amoeba107x

где aik , i nk , k = 1,,n.

Тропическая функция обладает тремя важными свойствами:

  1. p непрерывна.
  2. p кусочно-линейная, где количество кусков конечно.
  3. p вогнута, т.е p(2015-02-04amoeba108x) 2015-02-04amoeba109x(p(x) + p(y)).

Каждая функция, которая удовлетворяет свойствам 1)-3), может быть представлена в виде максимума конечного числа линейных функций.

В качестве примера рассмотрим график тропического кубического многочлена одной переменной

2015-02-04amoeba110x

изображеный на рисунке 4.1. Значения функции pt(x) находятся как максимум четырех линейных функций

2015-02-04amoeba111x

Более точно, значение функции pt(x) — это наибольшее из значений y таких, что пара (x,y) лежит на одной из четырех прямых. Таким образом, график pt(x) есть верхняя огибающая этих четырех прямых. Все четыре линии вносят вклад, если b - a > c - b > d - c. Точки x = b -a, x = c - b, x = d - c являются точками излома графика, в которых pt(x) не линейна.

4-1
4.1. Кривая и график тропической функции (4.3)
Точки излома берутся в качестве корней тропического полинома. На первый взгляд это выглядит странно. Однако, если мы вспомним график функции Иенсена (см. п. 2.1.), которая в переменной log|z| также кусочно-линейна и терпит излом в момент появления корней многочлена, то такая идея становится естественной. При этом мы можем определить нулевое множество тропического многочлена любого числа переменных, т.е. тропическую гиперповерхность.

Определение. [61] V (pt) называется множество всех точек x n, в которых максимум достигается одновременно не менее, чем на двух линейных функциях, задающих тропическую функцию pt(x).

Иными словами, точка x n принадлежит V (p t) тогда и только тогда, когда p не линейна в этой точке.

Рассмотрим случай n=2. Тропический полином в этом случае будет иметь вид:

2015-02-04amoeba112x

(4.2)

Соответствующая многочлену 4.2 тропическая гиперповерхность называется плоской тропической кривой. Следующее предложение определяет характерные особенности такой тропической кривой.

Предложение. Кривая V (pt) — это конечный граф, который вложен в плоскость 2. Он имеет ограниченные и неограниченные грани, углы наклона всех граней рациональные.

Пусть pt — произвольный тропический многочлен от x и y. Рассмотрим все слагаемые aij xi yj, содержащиеся в p t. В классической арифметике каждое слагаемое представляет линейную функцию aij + ix + jy от x и y. Тропическая функция pt : 2 данной точке ставит в соответствие максимум этих линейных функций.

Пример. График тропического полинома

2015-02-04amoeba113x

(4.3)

изображен на рисунке ??. Согласно определению 4.1.2,

2015-02-04amoeba114x

Для того, чтобы построить этот график по определению, для двух любых наборов (i*,j*) и (i,j) необходимо решить систему линейных уравнений и неравенств

2015-02-04amoeba115x

где (i,j) Δpt.

Решением этой системы является точка, отрезок, луч или пустое множество. Объединение этих точек, лучей и отрезков есть тропическая кривая, изображенная на рисунке 4.2. По графику наглядно видно, что тропическая кривая — это проекция на плоскость (x,y) точек, в которых функция p(x,y) не гладкая (график p(x,y) терпит излом).

4-2 tr1
4.2. Кривая и график тропической функции (4.3)