Свойство выпуклости дополнения амебы в высших коразмерностях

Свойство выпуклости каждой связной компоненты подмножества X из n (или из любого векторного пространства) можно сформулировать на языке приведенных нульмерных групп гомологий. А именно, такое свойство равносильно тому, что для всякой прямой l nиндуцированный вложением гомоморфизм

2015-02-04amoeba38x

является инъективным; последнее и означает, что если две точки из X можно соединить путем в X, то это же можно сделать на прямой l, проходящей через точки. Назвав множества с таким свойством 0-выпуклыми, естественным покажется следующее

Определение. Подмножество X n называется (k - 1)-выпуклым, если для всякой k-мерной плоскости π n индуцированный вложением гомоморфизм

2015-02-04amoeba39x

является инъективным.

Для формулировки основного результата о выпуклости дополнения напомним, что алгебраическое подмножество V Tn называют приведенным полным пересечением коразмерности k, если оно может быть задано в виде

2015-02-04amoeba40x

где dP1 ∧ . . . dPk ⁄≡ 0 на каждой неприводимой компоненте V .

Имеет место следующая

Теорема. [8] Дополнение амебы алгебраической поверхности коразмерности k является (k - 1)-выпуклым.

Эту теорему поясняет рис. 3.1: 1-цикл γ, выбранный в сечении плоскостью π в дополнении к амёбе, не гомологичен нулю в этом сечении. Он остается не гомологичным нулю в дополнении амёбы из-за того, что щупальцы уходят на бесконечность с некоторыми асимптотами.nogi

3.1.