Контуры амеб комплексных прямых в ℂN

Рассмотрим комплексную прямую в n:

2015-02-04amoeba54x

Контуром ее амебы по определению является множество критических значений логарифмического отображения

2015-02-04amoeba55x

Для нахождения контура необходимо вычислить матрицу якоби отображения Log в координатах z1,z1:

2015-02-04amoeba56x

Условием критичности, т.е. немаксимальности ранга вычисленной матрицы, будет переопределенная система уравнений:

2015-02-04amoeba57x

(3. 2)

Справедлива следующее утверждение: Контур амебы комплексной прямой в n,n > 2, задаваемой уравнениями

2015-02-04amoeba58x

 

все aj,bj0, непуст тогда и только тогда, когда

2015-02-04amoeba59x

(3. 3)

При этих условиях контур амебы представляет собой образ вещественной прямой d2x = c2y на комплексной плоскости переменного z1 = x + iy при отображении Log.

Любое из условий существования контура амебы в (3.3) можно считать выполненным, если хотя бы один из входящих в него коэффициентов равен нулю. Для bj = 0 это видно из системы (??), а для ak = 0 — из условий (3.2).

Пример. Рассмотрим прямую

2015-02-04amoeba60x

(3. 4)

2 6

Другие ракурcы амебы

2 14 3
7 5

Пример. Случай, когда отношение 2015-02-04amoeba62x вещественно, изображен на рис. 3.5. Это амеба прямой

2015-02-04amoeba63x

 

(3. 5)

Отношение 2015-02-04amoeba62x в этом случае равно 2. Амеба представляет собой поверхность с краем в 3, каждая внутренняя точка которой имеет по два прообраза на исходной прямой (3.5):

2015-02-04amoeba65x

Таким образом, по сравнению с невырожденным случаем эта амеба «схлапывается» — противоположные точки поверхности слипаются в одну.

Контуром такой амебы является ее край, прообразом которого в данном случае будет вещественный срез плоскости переменного z1.

8

3.5

Пример 1. Наконец, если хотя бы один из коэффициентов в уравнениях прямой обращается в ноль, то амеба «ложится» в плоскость в 3 и в этой плоскости представляет собой амебу комплексной прямой с заведомо непустым контуром. Такой вид, например, имеет амеба прямой

2015-02-04amoeba66x

(3 .6)

Отметим, что приведенные примеры описывают все возможные классы амеб комплексной прямой и для n-мерной ситуации (кроме крайне вырожденного случая, когда все zj пропорциональны и амеба комплексной прямой представляет собой вещественную прямую в n).