Контуры амеб комплексных прямых в ℂN

Рассмотрим комплексную прямую в ℂⁿ:

Контуром ее амебы по определению является множество критических значений логарифмического отображения

Для нахождения контура необходимо вычислить матрицу якоби отображения Log в координатах z₁,z₁:

Условием критичности, т.е. немаксимальности ранга вычисленной матрицы, будет переопределенная система уравнений:

(3. 2)

Справедлива следующее утверждение: Контур амебы комплексной прямой в ℂⁿ,n > 2, задаваемой уравнениями

 

все a_j,b_j≠0, непуст тогда и только тогда, когда

(3. 3)

При этих условиях контур амебы представляет собой образ вещественной прямой d₂x = c₂y на комплексной плоскости переменного z₁ = x + iy при отображении Log.

Любое из условий существования контура амебы в (3.3) можно считать выполненным, если хотя бы один из входящих в него коэффициентов равен нулю. Для b_j = 0 это видно из системы (??), а для a_k = 0 — из условий (3.2).

Пример. Рассмотрим прямую

(3. 4)

 

Другие ракурcы амебы

Пример. Случай, когда отношение  вещественно, изображен на рис. 3.5. Это амеба прямой

 

(3. 5)

Отношение  в этом случае равно 2. Амеба представляет собой поверхность с краем в ℝ³, каждая внутренняя точка которой имеет по два прообраза на исходной прямой (3.5):

Таким образом, по сравнению с невырожденным случаем эта амеба «схлапывается» — противоположные точки поверхности слипаются в одну.

Контуром такой амебы является ее край, прообразом которого в данном случае будет вещественный срез плоскости переменного z₁.

3.5

Пример 1. Наконец, если хотя бы один из коэффициентов в уравнениях прямой обращается в ноль, то амеба «ложится» в плоскость в ℝ³ и в этой плоскости представляет собой амебу комплексной прямой с заведомо непустым контуром. Такой вид, например, имеет амеба прямой

(3 .6)

Отметим, что приведенные примеры описывают все возможные классы амеб комплексной прямой и для n-мерной ситуации (кроме крайне вырожденного случая, когда все z_j пропорциональны и амеба комплексной прямой представляет собой вещественную прямую в ℝⁿ).