Построение тропической кривой по подразбиению многоугольника Ньютона

Для n = 2 существует более рациональный способ построения графика, основанный на подразбиении многоугольника Ньютона.

Определение. Δp тропического многочлена pt(x) вида 4.1 называется выпуклая оболочка всех показателей i = (i1,,in) мономов xi входящий в p t(x).

При n = 2 Δpt называется многоугольником Ньютона.

Введем понятие подразбиения многоугольника Ньютона Δpt.

Поставим в соответствие каждому члену aij xiyj из p t(x) точку (i,j,aij) в 3. Построим выпуклую оболочку всех точек (i,j,a ij) и рассмотрим проекцию:

2015-02-04amoeba116x

Результат проектирования и есть многоугольник Ньютона Δpt вместе с его подразбиением.

Теорема. Тропическая кривая V pt двойственна подразбиению многоугольника Ньютона Δpt, а именно лучи кривой ортогональны сторонам многоугольника, а внутренние отрезки кривой - отрезкам подразбиения многоугольника Ньютона.

Пример. Рассмотрим полином первой степени pt(x,y) = AxB yC. Его многоугольник Ньютона изображен на рисунке 4.3 и не имеет подразбиений.

4-3tr1

Рис. 4.3. Подразбиение Δpt, кривая V pt и график для pt(x,y) = A x B y C

Подразбиение Δpt возможно, когда он содержит целые точки, отличные от вершин.

Пример. Рассмотрим произвольный тропический полином второй степени

2015-02-04amoeba117x

(4.4)

С точки зрения классической арифметики этот полином определяет кусочно-линейную функцию

2015-02-04amoeba118x

Многоугольником Ньютона многочлена 4.4 является треугольник, содержащий целые точки на сторонах. В зависимости от значения коэффициентов возможно одиннадцать подразбиений и, соответственно, одиннадцать типов форм тропических кривых. Некоторые из них изображены на рис. 4.4 и рис. 4.5.

4-4

tr2

Рис. 4.4. Подразбиение Δp, кривая V (pt) и график для p(x,y) = x2 x y y2 2 x 2 y 2

4-5tr3

Рис. 4.5. Подразбиение Δp, кривая V (pt) и график для p(x,y) = 0 x2 2 x y 0 y2 2 x 2 y 0

Заметим, что тропическую кривую легко построить, используя систему компьютерной математики Maple. Для построения графиков в Maple необходимо подключить пакеты plots и plottools. Для построения графиков в тропической кривой используем функцию из пакетаplots plot3d, для которой необходимо задать функцию, график которой требуется построить, область определения x и y.

Для построения поверхностей используется команда

2015-02-04amoeba119x

где expr — функция, график которой необходимо построить; x = a..b — область определения переменной x; y = c..d — область определения переменной y. В качестве опций можно изменять такие параметры, как вид координатных осей axes, цвет графика color, сетка на плоскости grid и др. Для отображения нескольких графиков в одной плоскости используется команда display.

maple

Рис. 4.6. Построение тропической кривой p(x,y) = x2 y2xy2xy0 в математическом пакете Maple 13