Амебы сингулярных стратов классического дискриминанта

С общим алгебраическим уравнением

2015-02-04amoeba67x

(3 .7)

тесно связан многочлен Δ от переменных a = (a0,,an) — дискриминант уравнения.

Он «отвечает» за наличие кратных корней в том смысле, что Δ(a) = 0 в том и только том случае, когда уравнение  имеет по крайней мере один кратный корень. Дискриминант Δ является неприводимым многочленом с целыми коэффициентами, определен однозначно, с точностью до выбора знака, и может быть выражен через корни r1,r2,,rn уравнения при помощи формулы

2015-02-04amoeba68x

Следуя [14, глава 12], мы будем считать знак в дискриминанте равным (-1)n(n-1)2.

Классический определитель Сильвестра дает явное выражение для дискриминанта через коэффициенты уравнения:

2015-02-04amoeba69x

(3 .8)

Для n = 2 эта формула дает Δ = 4a0a2 - a12, для n = 3

2015-02-04amoeba70x

Число слагаемых в Δ быстро растет с увеличением n, равно как и абсолютные величины коэффициентов в этих слагаемых. При n = 4 дискриминант содержит 16 мономов, в то время как при n = 5 их число равно 59.

Для любого n мономы nna 0n-1a nn-1 и Бa 12a 22a n-12 присутствуют в Δ.

Дискриминант уравнения мы называем классическим. Обозначим через его нулевое множество и будем его называть дискриминантным множеством уравнения или многочлена f.

Геометрически гиперповерхность есть двойственное многообразие для кривой Веронезе [1 : t : t2 : : tn] в ℂℙn. Иными словами, она состоит из тех векторов a 1+n, для которых соответствующая гиперплоскость a0z0 + a1z1 + + anzn = 0 не трансверсальна параметризованной кривой zν = tν (см. [14]).

Рассмотрим подмножества Mj ⊂∇, состоящие из таких a n+1, для которых уравнение имеет корни кратности j. Эти подмножества образуют вложенную цепочку

2015-02-04amoeba71x

Каждое Mj+1 принадлежит множеству сингулярных точек sng Mj, при этом страт Sj = Mj \Mj+1 состоит из точек, где Mj либо неособо, либо самопересекается своими гладкими кусками. Поэтому мы называем Mj сингулярными стратами каспидального типа. Такие страты впервые рассматривались в работе Д. Гильберта [17], см. также [27]. Здесь мы изложим недавние наблюдения Е.Н. Михалкина и А.К. Циха [41].

Определенную информацию о приведенном дискриминантном множестве и его сингулярных стратах можно получить в логарифмической шкале в терминах понятия амебы алгебраической поверхности. В случае, когда алгебраическое множество V есть гиперповерхность или кривая, ее неособая точка z является критической для Log|V в том и только том случае, когда логарифмическое отображение Гаусса в ней вещественно (см. [36]). Таким образом, для V = pq контур амебы параметризуется сужением отображения ΨpqMℝℙn-2 на вещественное проективное подпространство. Аналогично, контур амебы для страта Mpqn-1 параметризуется сужением Ψ pq на вещественный срез Ln-3 ℝℙn-2.

Рассмотрим в качестве примера приведенное дискриминантное множество 04 для уравнения степени 4. Согласно теоремам ?? и ?? его страт M043 параметризуется сужением параметризации

2015-02-04amoeba73x

на комплексную прямую своих критических точек

2015-02-04amoeba74x

Выбрав s1 в качестве аффинной координаты на L1, сужение Ψ04L1 можно представить в виде

2015-02-04amoeba76x

kon

3.6. Контур амебы страта M043 для уравнения степени 4

Разные положения контура амебы страта M043 для уравнения степени 4

con1

con2

con3

На 3.6 изображен контур для страта M043, допускающего указанную параметризацию.

Из параметризации видно, что щупальца амебы соответствуют набору значений s1 = -∞,  - 1, 0, 1/3, 3.

Значению s1 = 1 соответствует нульмерный страт M044; это критическая точка параметризации. Таким образом, контур амебы нульмерного страта M044 является точкой возврата (каспидальной точкой) для контура амебы примыкающего к нему одномерного страта M043.

Чтобы проследить характер примыкания контуров амеб стратов M042 = 04 и M043, требуется определенная деликатность. В аффинных координатах s1,s2 пространства ℂℙ2 параметризация Ψ 04 для M042 = 04 следующая:

2015-02-04amoeba78x

Для построения контура амебы надо вычислить образ 2 ℝℙ2 относительно отображения Log Ψ04. Это отображение имеет полярные особенности на четырех прямых (пятая прямая s3 = 0 является бесконечно удаленной относительно выбранной аффинной части):

2015-02-04amoeba79x

3dper

Рис. 3.7. Особенности параметризации Ψ04: 4 полярных прямых, критическая прямая и гипербола самопересечений

На рис. 3.7 эти прямые изображены наряду с критической прямой L1 (жирная прямая, переходящая при отображении Log Ψ04 в контур амебы для M043). Кроме того, следует учесть роль гиперболы {(s1 + 1)(s1 + 2s2 + 3) = 2}, изображенной пунктиром. Образ комплексной гиперболы относительно Ψ04 есть страт M042,2, отвечающий за наличие двух корней кратности 2. Иными словами, этот страт состоит из всех x = (x1,x2,x3), для которых выполняется равенство многочленов

2015-02-04amoeba80x

с параметрами a и b. Обозначив t := a + b, зададим этот страт при помощи параметризации x1 = 2t, x2 = t2 Б 2, x 3 = -2t. Множество M042,2 составляет страт самопересечения для дискриминантного множества 04. Сужение параметризации Ψ04 на указанную гиперболу принимает равные значения в точках (s1,s2), (s1,s2), для которых s1 s1 = 1.

На рис. 3.8 приводятся некоторые фрагменты примыканий контура амебы для 04 к контуру амебы для страта M043 в разных ракурсах.

Они показывают, что контур амебы для страта M043 является кривой возврата контура амебы для 04. Вблизи острия контура для амебы M043 (соответствующему значению s1 = 1 в параметризации контура) примыкание изображается куском в виде сетки и скрытыми за ней двумя возвратными кусками серого цвета. Эти куски пересекаются в общем положении по кривой, которая выходит из острия и представляет часть контура амебы для страта самопересечения M042,2.

ugolokxvost

3.8. Фрагменты примыкания контура амебы для 04 к контуру амебы для страта M043

В целом, поверхность справа составляет фигуру, известную под названием «ласточкин хвост». Она получается как часть контура амебы для 04, для которой вещественные аффинные параметры s1,s2 пробегают подходящим образом выбранную окрестность луча L1 ∩{s 1> 0}.