Примеры амеб комплексных кривых и их спайнов

Пример. Классическим и самым простым примером является амеба комплексной прямой, определяемая нулями полинома f(z) = az+bw+c. Многоугольник Ньютона Δf в этом случае не содержит иных целых точек, кроме вершин ( это треугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (1,0)), поэтому, согласно Следствию 1, у Af будет всего 3 компоненты дополнения E00,E10,E01 . Из соображения тропической геометрии спайн амебы — трехрожник (см. рис. 4.7).

4-7

4.7. Кривая V = z + w - 1 = 0 на схеме Рейнхардта, ее амеба V и ее спайн

ример. Пусть f(z) = 1 + z + w + 2015-02-04amoeba124x + 2015-02-04amoeba125x. Кривая V = {f(z) = 0}, ее амеба и спайн рассматривались в статье [49]. В этой статье показано, что полином Sf для этого случая будет иметь вид:

2015-02-04amoeba126x

где a(1,0) = a(0,1) = ln(3 -2015-02-04amoeba127x). Амеба кривой V и ее спайн изображены на рисунке 4.8.

4-8

4.8. Δf, амеба и спайн кривой, определяемой полиномом 1 + z + w + 2015-02-04amoeba128x + 2015-02-04amoeba129x

Пример. Исследование амеб тесно связно с локальными геометриями Колаби-Яо, которые моделируют калибровочные теории в физике. Важным примером в рамках U(1) теории является амеба полинома Лорана, имеющего вид

2015-02-04amoeba130x

(4.8)

Полином f имеет многоугольник Ньютона, изображенный на рисунке 4.9.

4-9 aaa

4.9. Многоугольник Ньютона Δf полинома f(z,w) = z - 5 - 2(w + w-1), амеба определяемой им кривой и ее спайн.

Полином SAf имеет вид

2015-02-04amoeba131x

где, коэффициент c00 = ln 4.

Пример. В некоторых задачах возникает необходимость рассматривать амебы, которые имеют максимальное число связных компонент в дополнении (см., например, [29]). Мы ограничимся рассмотрением случая n = 2 и кривой

2015-02-04amoeba132x

(4.9)

Если у амебы Af, определяемой полиномом 4.9 открыты все компоненты дополнения Eα, то она имеет вид, изображенный на рисунке 4.10.

4-10

4.10. Δf, амеба и спайн SAf кривой, определяемой полиномом f(z1,z2) = Az12 + Bz 22 + Cz 1z2 + Dz1 + Ez2 + F.

Пусть f(z1,z2) имеет вид 4.9 где A,B,C,D,E,F — комплексные числа, причем A,B,F не равны нулю. Тогда тропический полином Sf, определяющий спайн амебы, имеет вид:

2015-02-04amoeba133x

где

2015-02-04amoeba134x

2015-02-04amoeba135x

2015-02-04amoeba136x