Солидность амебы минимального полинома

На языке амеб многомерное обобщение того факта, что все корни полинома f(z) = zm - a лежат на единичной окружности, выражается в, так называемой, солидности (от слова «solid» — сплошной) амебы Af.

Определение. Амеба Af называется солидной, если число связных компонент {E} дополнения n\Aff минимально, т.е. равно числу вершин многогранника Ньютона многочлена f.

Пусть f — полином Лорана вида

2015-02-04amoeba137x

Определение. Полином f называется минимальным (максимально разреженным), если cα0 только для α = (α1,n), соответствующих вершинам многогранника Ньютона Δf.

Отметим следующую нерешенный на сегодняшний день вопрос: любой ли минимальный полином имеет солидную амебу?

Используя идеи тропической геометрии нетрудно доказать, что этот вопрос решается положительно в случае, когда n = 2 и многоугольник Δf не имеет внутренних точек. Спайн амебы определяется в этом случае тропическим полиномом

2015-02-04amoeba138x

где A— множество вершин ΔF .