Логарифмическое отображение Гаусса и контур амёбы

Определение. [25, 8] Логарифмическим отображением Гаусса назовем отображение γ :  V Gr(n,k), которое каждой гладкой точке z reg V ставит в соответствие нормальное подпространство γ(z) к образу log V .

Лемма. Пусть V в окрестности гладкой точки задается нулями полиномов P1,,Pk:

2015-02-04amoeba47x

Тогда логарифмическое отображение Гаусса в этой точке задается матрицей

2015-02-04amoeba48x

 

(3. 1)

вектор-строки которой образуют базис нормального пространства к образу log V .

Теорема. [8] Точка z reg V является критической для отображения Log тогда и только тогда, когда образ γ(z) логарифмического отображения Гаусса содержит

  1. хотя бы n - 2d + 1 линейно независимых над вещественных векторов при 2d n,
  2. хотя бы один вещественный вектор при 2d n.

В частности, в случаях гиперповерхностей (d = n- 1) и кривых (d = 1) точка z критическая тогда и только тогда, когда логарифмическое отображение Гаусса γ(z) вещественно.

Суть этого утверждения заключается в следующем. Отображение LogV :  V n есть композиция комплексного логарифма

2015-02-04amoeba50x

и проекции на вещественные координаты n:

2015-02-04amoeba51x

Комплексный логарифм локально биголоморфен в торе Tn и поэтому не имеет критических точек на reg V , следовательно, критические точки Log|V это критические точки проекции

2015-02-04amoeba52x

Критические точки проекции определяются касательным отображением

2015-02-04amoeba53x

и связаны с тем, является ли нормальное пространство к LogV вещественным или нет. В каком-то смысле это иллюстрирует Рис. 3.2: в критических точках проекции πn нормальное подпространство γ(z) становится «горизонтальным» и не содержит вещественных точек, т.е. γ(z) вещественно.

after31

3.2

L18 L19

3.3. Нормальные пространства к поверхности невырожденной и контуру вырожденной амеб комплексных прямых

Пример. В критической точке отображения Log комплексной прямой в 3 (d = 1) оба вектора логарифмического отображения Гаусса γ(z) должны быть вещественными.

На рис. 3.3 слева изображена часть невырожденной, т.е. не имеющей контура, амебы комплексной прямой Касательное пространство в каждой точке такой амебы двумерно, следовательно, рассматриваемая в теореме проекция инъективна, поэтому критических точек нет, γ(z) содержит только один вещественный вектор, и в каждой точке амебы мы можем построить лишь одномерные нормали к ней.

Пример. Справа на рис. 3.3 изображена амеба вырожденной комплексной прямой.

В точках края амебы инъективность проекции π 3Tw(log V ) нарушена, следовательно, эти точки являются точками контура. В таких точках γ(z) содержит уже два вещественных вектора. Cоответственно, двумерно нормальное пространство к амебе, которое является вещественной проекцией задаваемого с помощью γ(z) комплексного нормального к log V пространства.